Problem dalam program linear tidak sesederhana pada prakteknya. Ini melibatkan banyak pembatas dan banyak variabel yang tak mungkin untuk diselesaikan dengan metode grafik. Untuk mencari solusi permasalahan itu maka dibutuhkan sebuah prosedur matematis (aljabar-linear).

Apa itu Metode Simpleks

Metode yang bisa digunakan salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini ditemukan oleh George Dantzig sebagai perkembangan dalam pemecahan model program linear.

Teknik yang digunakan dalam metode simpleks ini bisa memecah model yang memiliki variabel yang lebih dari dua. Secara teoritis, metode ini bisa menangai variabel keputusan dengan variabel pembatas yang tak terhingga. Dasar penggunaannya disini adalah logika aljabar matriks.

Dalam metode simpleks dikenal komponen,

Variabel keputusan (Decision Variabel)
Fungsi tujuan (Objective Function)
Kendala (Constrain)

Kondisi dalam Metode Simpleks,

Kondisi Optimalitas, yaitu kondisi yang menyatakan bahwa solusi yang dioptimalkan adalah solusi terbaik.
Kondisi Feasible, yaitu kondisi menyatakan bahwa yang dioptimalkan adalah solusi feasible dasar (basic feasible solution).

Beberapa istilah dasar dalam metode simpleks,

Iterasi, Tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
Variabel non basis , Variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
Variabel basis, Variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah variabel batas selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
Solusi atau Nilai Kanan (NK), Nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
Variabel Slack, Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
Variabel Surplus, Variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel bebas.
Variabel Buatan, Variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk > atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.
Kolom Pivot (Kolom Kerja), Kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
Baris Pivot (Baris Kerja), Salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.
Elemen Pivot (Elemen Kerja), Elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
Variabel Masuk, Variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
Variabel Keluar, Variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.

Contoh Permasalahan Metode Simpleks

Fungsi Tujuan: Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Fungsi Kendala:

10 X1 + 12 X2 + 8 X3 ≤ 120

18 X1 + 15 X2 + 6 X3 ≤ 135

12 X1 + 16 X2 + 6 X3 ≤ 150

X1, X2, X3 ≥ 0

Langkah 1. Merubah Fungsi kendala dan fungsi tujuan
Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit,
Dari Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Menjadi : Z- 15 X1 - 18 X2- 12 X3=0

Sementara itu fungsi kendala ditambahkan variabel Slack S1, S2, S3 sehingga menjadi,

10 X1 +	12 X2 +	8 X3 +	S1			=	120
18 X1 +	15 X2 +	6 X3		+ S2		=	135
12 X1 +	16 X2 +	6 X3			+ S3	=	150
X1, X2, X3, S1, S2, S3						≥ 0

Langkah 2. Membuat Tabulasi Fungsi
Tabulasi atau tabel dari fungsi di atas bisa dibuat menjadi bentuk,

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	-15	-18	-12	0	0	0	0
S1	0	10	12	8	1	0	0	120
S2	0	18	15	6	0	1	0	135
S3	0	12	16	6	0	0	1	150

Catatan: Ambil nilai variabel dalam setiap persamaan untuk isi tabel.

Langkah 3. Mendefenisikan Kolom dan Baris Pivot
Kolom Pivot diambil yaitu pada kolom dengan nilai negatif terkecil pada persamaan Z. Perhatikan kolom pivot yang diwarnai di bawah ini.

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	-15	-18	-12	0	0	0	0
S1	0	10	12	8	1	0	0	120
S2	0	18	15	6	0	1	0	135
S3	0	12	16	6	0	0	1	150

kolom X2 adalah kolom yang dipilih karena memiliki nilai -18 (nilai negatif terbesar).

Sementara Baris Pivot diambil dengan "membagi Solusi dengan masing masing kolom Pivot"
Bisa diperhatikan pada kolom dibawah ini dimana masing masing entri Solusi:X2(karena X2 kolom Pivot) = Rasio.

Sehingga bedasarkan soal diatas menjadi :

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi	Rasio
Z	1	-15	-18	-12	0	0	0	0	–
S1	0	10	12	8	1	0	0	120	10
X2	0	18	15	6	0	1	0	135	9
S3	0	12	16	6	0	0	1	150	9.375

Pilih baris yang memiliki rasio/ hasil bagi terkecil. di sini ada pada bari X2.
Langkah 4. Menemukan Persamaan Pivot Baru
Persamaan Pivot Baru diperoleh dengan rumus:

Pivot Baru= Pivot Lama:Elemen Pivot

Elemen Pivot adalah entri pertemuan baris pivot dan kolom pivot. Pada soal ini yaitu 15. Sehingga tabel akan menjadi,

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi
Z	1
S1	0
X2	0	18/15	1	6/15	0	1/15	0	9
S3	0

Bedasarkan tabel diatas semua baris pivot dibagi dengan elemen pivot yaitu 15. Sehingga dihasilkan persamaan pivot yang baru.

Langkah 5. Menentukan Persamaan Baru Selain Persamaan Pivot
Rumus untuk menentukan Persamaan Pivot Baru selain persamaan Pivot adalah:

Pers baru = (pers lama) – (pers pivot baru x koefisien kolom pivot)

Jadi persamaan baru yang dicari dari persoalan diatas adalah persamaan baru untuk basis Z, S1, dan S3. Sedangkan S2 sudah diganti oleh persamaan pivot baru X2.

Persamaan Z baru :

(-15) – (18/15 x (-18)) = 33/5

(-18) – (1 x -18) = 0

(-12) – (6/15 x -18) = -24/5

(0) – (0 x -18) = 0

(0) – (1/15 x -18) = 6/5

(0) – (0 x -18) = 0

(0) – (9 x -18) = 162

Persamaan S1 baru :

(10) – (18/15 x 12) = -22/5

(12) – (1 x 12) = 0

(8) – (6/15 x 12) = 16/5

(1) – (0 x 12) = 1

(0) – (1/15 x 12) = -4/5

(0) – (0 x 12) = 0

(120) – (9 x 12) = 12

Persamaan S3 baru :

(12) – (18/15 x 16) = -36/5

(16) – (1 x 16) = 0

(6) – (6/15 x 16) = -2/5

(0) – (0 x 16) = 0

(0) – (1/15 x 16) = -16/5

(1) – (0 x 16) = 1

(150) – (9 x 16) = 6

Sehingga tabulasi bisa dilengkapi menjadi:

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	33/5	0	-24/5	0	6/5	0	162
S1	0	-22/5	0	16/5	1	-4/5	0	12
X2	0	18/15	1	6/15	0	1/15	0	9
S3	0	-36/5	0	-2/5	0	-16/5	1	6

Langkah 6. Mempositifkan Nilai Z
Silakan diperiksa, apabila nilai Z masih ada yang negatif maka harus dipositifkan. Nilai Optimum akan diperoleh saat semua nilai Z positif. Pada soal diatas baris Z masih ada yang negatif yaitu kolom X3. Maka perlu dilakukan perbaikan untuk mencapai nilai optimal.

Untuk mempositifkan nilai Z, kita harus mengulangi lagi (iterasi) dari langkah 3 dari tabel yang sudah anda hitung. Pengulangan dilakukan hingga baris Z bernilai positif semua.

Berikut hasil akhir setelah mengulangi langkah 3 hingga nilai Z semua positif,

Basis	Z	X1	X2	X3	S1	S2	S3	Solusi
Z	1	0	0	0	3/2	0	0	180
S1	0	-11/8	0	1	5/16	-1/4	0	15/4
X2	0	7/4	1	0	-1/8	1/6	0	15/2
S3	0	-31/4	0	0	1/8	-7/6	1	15/2

Dapat Disimpulkan bahwasanya nilai optimum dari permasalahan di atas adalah Z = 180

Metode Simpleks: Pengertian dan Contoh Soal

Apa itu Metode Simpleks

Contoh Permasalahan Metode Simpleks